Question

如图，AB是⊙O的直径，CB=CD，AC与BD相交于F，CF=2，FA=4．
（1）求证：△BCF∽△ACB．
（2）求BC的长．
（3）延长AB至E，使BE=BO，连接EC，试判断EC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可知，∠D=∠CBD，∠A=∠D，通过等量代换推出∠A=∠CBD，即可推出结论，（2）由（1）所推出的结论，推出

BC

CF

=

AC

BC

，结合已知条件，即可推出BC的长度，（3）连接OC，根据垂径定理，即可推出OC⊥BD，然后通过求证

BE

AB

=

CF

FA

，推出BF∥EC，即得，OC⊥EC，即可推出结论．

解答：（1）证明：∵CB=CD，
∴∠D=∠CBD，
∵∠A=∠D，
∴∠A=∠CBD，
又∵∠ACB=∠BCF，
∴△BCF∽△ACB．

（2）解：∵△BCF∽△ACB，
∴

BC

CF

=

AC

BC

，
又∵CF=2，FA=4，
∴

BC

2

=

2+4

BC

，
∴BC₁=2

3

或BC₂=-2

3

（舍去），
∴BC=2

3

，

（3）解：EC与⊙O相切．
证明：连接OC，
∵CB=CD，
∴

CD

=

CB

，
∴OC⊥BD，
又∵BE=BO，AB是⊙O的直径，
∴OB=OA=BE，
∴

BE

AB

=

1

2

，
∵CF=2，FA=4，
∴

CF

FA

=

2

4

=

1

2

，
∴

BE

AB

=

CF

FA

，
∴BF∥EC，
∴OC⊥EC，
故EC与⊙O相切．

点评：本题主要考查圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理等知识点，关键在于（1）运用圆周角定理推出∠A=∠CBD，（2）熟练运用相似三角形的性质推出对应边成比例的比例式，（3）根据垂径定理，推出OC⊥BD，求证BF∥EC．