Question

20．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y₁与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y₂与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）．
（1）分别求出利润y₁与y₂关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和数目共获利利润W万元，直接写出W关于m的函数关系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
（3）若该专业户想获利不低于22万，在（2）的条件下，直接写出投资种植花卉的金额m的范围．

Answer 1

分析 （1）可根据图象利用待定系数法求解函数解析式；
（2）根据总利润=树木利润+花卉利润，列出函数关系式，再求函数的最值；
（3）令w=22求出m的值即可得．

解答 解：（1）设y₁=kx，由图①所示，函数y₁=kx的图象过（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利润y₁关于投资量x的函数关系式是y₁=2x（x≥0）；
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y₂=ax²，
由图②所示，函数y₂=ax²的图象过（2，2），
∴2=a•2²，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
故利润y₂关于投资量x的函数关系式是：y=$\frac{1}{2}$x²（x≥0）；

（2）因为种植花卉m万元（0≤m≤8），则投入种植树木（8-m）万元
w=2（8-m）+0.5 m²=$\frac{1}{2}$m²-2m+16=$\frac{1}{2}$（m-2）²+14
∵a=0.5＞0，0≤m≤8
∴当m=2时，w的最小值是14
∵a=0.5＞0
∴当m＞2时，w随m的增大而增大
∵0≤m≤8
∴当 m=8时，w的最大值是32．

（3）根据题意，当w=22时，$\frac{1}{2}$（m-2）²+14=22，
解得：m=-2（舍）或m=6，
故：6≤m≤8．

点评 考查二次函数的应用；求函数解析式通常用待定系数法；掌握函数的图象的特点是解决本题的关键．