题目内容

如图，把梯形OBCD放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OB在x轴正半轴上，OB=5，OD=BC=2，CD=3．
（1）直接写出∠DOB的度数；
（2）一动点M从点O出发，沿O→B→C→D→O以每秒1个单位的速度运动，运动到点O停止．
①当点M在OB上运动时，若∠DMC=∠DOB，请求出此时点M的坐标；
②设点M的运动时间为t秒，当点M在B→C→D→O上运动时，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，问：当t为何值时，△MNB的面积等于 $数学公式$ ？

解：（1）如图，从D点往OB坐垂线DM，由图形可得OM=1，根据直角三角形性质可得出∠1=30°
∴∠DOB=60°．

（2）①如图，∵∠DMC=∠DOB=60°，
∴∠1+∠3=120°，∠2+∠3=120°，
∴∠1=∠2
又∵∠DOM=∠MBC=60°
∴△ODM∽△BMC
∴ $\text{[math]}$
设OM=x，则2×2=x（5-x），解得x=1或4
∴M（1，0）或（4，0）；

②（I）当点M在BC上运动时，如图1，此时5＜t≤7，
∵MB=t-5
BN= $\text{[math]}$ ，MN= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ （不合，舍去）
（II）当点M在CD上运动时，如图2，此时7＜t≤10，
可求得BN=（t-7）+1=t-6，MN= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
解得t=6.5（不合，舍去）
（III）当点M在DO上运动时，如图3，此时10＜t≤12，
∵OM=12-t，ON= $\text{[math]}$ ，MN= $\text{[math]}$ ，
∴BN=OB-ON= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ （不合，舍去）
综合（I）（II）（III）可知，当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

分析：（1）从D点往OB作垂线DM，结合图形求出OM，根据直角三角形性质可得出∠DOB．
（2）先证∠1=∠2，再证△ODM∽△BMC，设OM=x，由相似比列出方程求解即可．
（3）分M点在DC，CB，BO上运动时三种情况作讨论．
当点M在BC上运动时，如图1，此时5＜t≤7，用t表示BN，MN，然后用表示出△MNB的面积求解即可；
当点M在DO上运动时，如图3，此时7＜t≤10，用t表示BN，MN，然后用表示出△MNB的面积求解即可；
当点M在DO上运动时，如图3，此时10＜t≤12，用t表示BN，MN，然后用表示出△MNB的面积求解即可．
点评：本题涉及梯形及相似三角形的相关性质，难度中上．