Question

已知：四边形ABCD为正方形，P为BC延长线上的一点，E为直线DP上的一动点，过点E作直线，分别交直线CD和直线AB于M、N两点．
（1）如图1，当tan∠CDP=

1

3

，E为PD的中点时，

EM

EN

=

1

7

；
（2）如图2，当E点在DP的延长线上，且 tan∠CDP=

1

3

，

PE

PD

=

2

3

时，求

EM

EN

的值；
（3）如图3，若E点在PD的延长线上，MN⊥PE于E，在EN上截取EG=ED试问：DM•PB与 MN•MG有何种数量关系？为什么？

Answer 1

分析：（1）如图1，过E作BC的平行线，分别交DC、AB于点F，G，则四边形BCFG是矩形，FG=BC．先由EF∥PC，E为PD的中点，根据平行线分线段成比例定理得出EF=

1

2

PC，由tan∠CDP=

1

3

，根据正切函数的定义得出PC=

1

3

CD，则EF=

1

6

CD．然后由MF∥GN，得出

EM

EN

=

EF

EG

，即可求解；
（2）如图2，过E作BC的平行线，分别交DC、AB的延长线于点F，G，则四边形BCFG是矩形，FG=BC．先由EF∥PC，

PE

PD

=

2

3

，根据平行线分线段成比例定理得出EF=

5

3

PC，由tan∠CDP=

1

3

，根据正切函数的定义得出PC=

1

3

CD，则EF=

5

9

CD．然后由MF∥GN，得出

EM

EN

=

EF

EG

，即可求解；
（3）如图3，连结BD，过N作AD的平行线，交CM于点F，则四边形ADFN是矩形，FN=AD．先利用ASA证明△PCD≌△MFN，得出PD=MN，再根据两角对应相等的两三角形相似得出△PDB∽△MDG，由相似三角形对应边成比例得到

PB

MG

=

PD

DM

，即可得出DM•PB=MN•MG．

解答：解：（1）如图1，过E作BC的平行线，分别交DC、AB于点F，G，则四边形BCFG是矩形，FG=BC．
∵EF∥PC，E为PD的中点，
∴

EF

PC

=

DE

DP

=

1

2

，
∴EF=

1

2

PC．
∵tan∠CDP=

PC

CD

=

1

3

，
∴PC=

1

3

CD，
∴EF=

1

2

×

1

3

CD=

1

6

CD．
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=BC，AB∥CD，
∴MF∥GN，
∴

EM

EN

=

EF

EG

=

EF

EF+FG

=

1 6 CD

1 6 CD+CD

=

1

7

．

（2）如图2，过E作BC的平行线，分别交DC、AB的延长线于点F，G，则四边形BCFG是矩形，FG=BC．
∵EF∥PC，

PE

PD

=

2

3

，
∴

PC

EF

=

DP

DE

=

3

5

，
∴EF=

5

3

PC．
∵tan∠CDP=

PC

CD

=

1

3

，
∴PC=

1

3

CD，
∴EF=

5

3

×

1

3

CD=

5

9

CD．
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=BC，AB∥CD，
∴MF∥GN，
∴

EM

EN

=

EF

EG

=

EF

EF+FG

=

5 9 CD

5 9 CD+CD

=

5

14

；

（3）DM•PB=MN•MG．理由如下：
如图3，连结BD，过N作AD的平行线，交CM于点F，则四边形ADFN是矩形，FN=AD．
∵∠2+∠M=90°，∠3+∠M=90°，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
在△PCD与△MFN中，

∠1=∠3 CD=FN ∠PCD=∠MFN=90°

，
∴△PCD≌△MFN（ASA），
∴PD=MN．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠4=∠CBD=45°．
∵MN⊥DE，EG=ED，
∴∠5=∠DGE=45°，
∴∠1+∠4=∠2+∠5，即∠PDB=∠MDG．
在△PDB与△MDG中，

∠PDB=∠MDG ∠PBD=∠MGD=45°

，
∴△PDB∽△MDG，
∴

PB

MG

=

PD

DM

，
∴DM•PB=PD•MG，
∵PD=MN，
∴DM•PB=MN•MG．
故答案为

1

7

．

点评：本题考查了正方形、矩形的性质，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数的定义，全等三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合的方法，准确作出辅助线是解题的关键．