Question

7．如图，在边长为6的正方形ABCD的外侧作等边△ADE，连接BE交AC于点F，连接DF并延长交AB于点G，则AG的长为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 6$\sqrt{2}$-6
• D． 12-6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接BD，交AC于点O，根据正方形的性质得到BD=6$\sqrt{2}$，OB=3$\sqrt{2}$，根据等边三角形的性质得到AE=AD，∠DAE=60°，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=∠ABE=15°，求得∠FBO=30°，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答  解：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，BC=6，
∴BD=6$\sqrt{2}$，
∴OB=3$\sqrt{2}$，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∴AB=AE，∠BAE=150°，
∴∠ABE=∠ABE=15°，
∴∠FBO=30°，
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=$\sqrt{6}$，AF=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，CF=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∵AB∥CD，
∴△AFG∽△CFD，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{AG}{CD}$，即$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}$=$\frac{AG}{6}$，
解之，得AG=12-6$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．