Question

某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）．
（1）  一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价-成本）
（2）求图2中表示一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？

Answer 1

（1）5元 （2）（3）110000元

试题分析：
解：（1）由图象知：3月份每件商品售价6元，成本1元，故可得，一件商品在3月份出售时的利润为5元．
（2）  由图知，抛物线的顶点为（6，4），故可设抛物线的解析式为Q=．
∵抛物线过（3，1）点，∴a（3-6）²+4=1．解得a=．故抛物线的解析式为Q=，即，其中t=3，4，5，6，7．
（3）  设每件商品的售价M（元）与时间t（月）之间的函数关系式为M="k" t+ b．
∵线段经过（3，6）、（6，8）两点，∴M=，其中t=3， 4，5，6，7．
故可得：一件商品的利润W（元）与时间t（月）的函数关系式为：W=M-Q=，
其中t=3，4，5，6，7．当t=5时，W有最小值为元，即30000件商品一个月内售完至少获利30000×=110000（元）．答：该公司一个月内至少获利110000元．
点评：该题相对较难，涉及的知识点较多，其中对于函数最值的运用是常考题，学生可通过画图协助分析。