Question

如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连接CD、OD．
求证：（1）△DEC∽△ODC；
（2）2CD²=CE•AB．

Answer 1

分析：（1）由条件可以得出

CD

=

BD

，进而得出∠COD=∠BOD=45°，

AC

=90°，得到∠ADC=45°，得到∠ADC=∠DOC，从而可以得到△DEC∽△ODC．
（2）由△DEC∽△ODC可以得到

DC

OC

 =

EC

DC

，得到DC²=OC•EC，由AB=2OC可以得出结论．

解答：（1）证明：∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴

AC

 =

CB

=90°，
∴∠ADC=45°．
∵AD平分∠CAB，
∴

CD

 =

BD

=45°，
∴∠DOC=45°，
∴∠CDE=∠COD，
∵∠DCE=∠DCO，
∴△DEC∽△ODC；
（2）∵△DEC∽△ODC，
∴

DC

OC

=

EC

DC

∴CD²=CE•CO，
∴2CD²=2CE•CO
∵2CO=AB
∴2CD²=CE•AB

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质的运用及圆周角定理及圆心角定理的运用．