Question

6．如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD=6cm，BC=12cm，求正方形MNPQ的边长．

Answer 1

分析 设正方形MNPQ的边长为x，则PQ=QM=x，再说明四边形QMDE为矩形得到ED=QM=x，然后证明△AQP∽△ABC，再利用相似比可求出x．

解答 解：设正方形MNPQ的边长为x，则PQ=QM=x，
∵四边形MNPQ为正方形，
∴PQ∥MN，QM⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴四边形QMDE为矩形，
∴ED=QM=x，
∴AE=AD-DE=6-x，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{QP}{BC}$，即$\frac{6-x}{6}$=$\frac{x}{12}$，解得x=4，
即正方形MNPQ的边长为4．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．