Question

如图，△ABC内接于⊙O，点D在半径OB的延长线上，∠BCD=∠A=30°．

（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积．（结果保留π和根号）

Answer 1

解：（1）直线CD与⊙O相切，

∵在⊙O中，∠COB=2∠CAB=2×30°=60°，

又∵OB=OC，

∴△OBC是正三角形，

∴∠OCB=60°，

又∵∠BCD=30°，

∴∠OCD=60°+30°=90°，

∴OC⊥CD，

又∵OC是半径，

∴直线CD与⊙O相切．

（2）由（1）得△OCD是Rt△，∠COB=60°，

∵OC=1，

∴CD=，

∴S_△COD=OC•CD=，

又∵S_扇形OCB=，

∴S_阴影=S_△COD﹣S_扇形OCB=．