Question

如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？

Answer 1

解：∵∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，
∴设AC=3xcm，AB=5xcm，
则BC==4x（cm），
即4x=8，
解得：x=2，
∴AC=6cm，AB=10cm，
∴BC=8cm，
设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，
则BP=2tcm，CP=BC-BP=8-2t（cm），CQ=tcm，
∵∠C是公共角，
∴①当，即时，△CPQ∽△CBA，
解得：t=2.4，
②当，即时，△CPQ∽△CAB，
解得：t=，
∴过2.4或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．
分析：由∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，利用勾股定理即可求得AB与AC的长，然后设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则可得BP=2tcm，CP=BC-BP=8-2t（cm），CQ=tcm，再分别从当时，△CPQ∽△CBA与当时，△CPQ∽△CAB，去分析求解即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．