题目内容
如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD．
（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长；
（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．
（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长；
（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．
（1）∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC．
在RT△ADB中，∵AD=3，BD=4，
∴由勾股定理得AB=5．
∵∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴△ABD∽△ACB，
∴
=
，
即
=
，
∴BC=
；
（2）证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
又∵E是BC的中点，BD⊥AC，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD．
∴ED与⊙O相切．
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC．
在RT△ADB中，∵AD=3，BD=4，
∴由勾股定理得AB=5．
∵∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴△ABD∽△ACB，
∴
| BD |
| AD |
| BC |
| AB |
即
| 4 |
| 3 |
| BC |
| 5 |
∴BC=
| 20 |
| 3 |
（2）证明：连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD；
又∵E是BC的中点，BD⊥AC，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD．
∴ED与⊙O相切．
练习册系列答案
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22、如图，已知Rt△ABC，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，BD的垂直平分线分别交AB，BC于点E、F，CD=CG．
E，交⊙O于点F，且AE=BE．
5、如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F，D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE=DF．
如图，已知Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=5．过点A做AE⊥AB，且AE=15，连接BE交AC于点P．
如图，已知Rt△ABC中∠A=90°，AB=3，AC=4．将其沿边AB向右平移2个单位得到△FGE，则四边形ACEG的面积为