Question

找规律：
（m-1）（m+1）=m²-1；
（m-1）（m²+m+1）=m³-1；
（m-1）（m³+m²+m+1）=m⁴-1；
（m-1）（m⁴+m³+m²+m+1）=m⁵-1；
（m-1）（m⁵+m⁴+m³+m²+m+1）=______-1；
…
（ m-1）（m^n-1+m^n-2+…m²+m+1）=______-1；
（1）在上面空白处填空；
（2）根据你找的规律计算：2+2²+2³+…+2⁹⁸+2⁹⁹．

Answer 1

解：（1）（m-1）（m⁵+m⁴+m³+m²+m+1）=m⁶-1；
（ m-1）（m^n-1+m^n-2+…m²+m+1）=mⁿ-1；
故答案为m⁶，mⁿ；

（2）2+2²+2³+…+2⁹⁸+2⁹⁹=1+1+2²+2³+…+2⁹⁸+2⁹⁹
=1+
=1+（2¹⁰⁰-1）
=2¹⁰⁰．
分析：（1）等式左边为两个式子的积，一个为m-1，另一个是mⁿ+m^n-1+…m²+m+1，等式的右边是mⁿ⁺¹-1；
（2）把2+2²+2³+…+2⁹⁸+2⁹⁹变为1+1+2²+2³+…+2⁹⁸+2⁹⁹．
点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
本题的关键规律为等号前面m-1与mⁿ+m^n-1+…m²+m+1的积，等号右边是mⁿ⁺¹-1．