Question

如图在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=10，AC=5，若动点P从点B出发，沿线段BA运动到A点为止，运动为每秒2个单位长度．过点P作PM∥BC，交AC于点M，设动点P运动时间为x秒，AM的长为y．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BPM的面积S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由PN、BC平行易得△APM∽△ABC，即得到

AP

AB

=

AM

AC

，由题意代入各线段的值，即可得解．
（2）由三角形面积公式得，△BPM的面积S=

1

2

BP•AM，据（1）中条件可得到一个关于x的二次函数式，求x的最大值即得面积的最大值．

解答：解：（1）∵PM∥BC
∴△APM∽△ABC，
∴

AP

AB

=

AM

AC

，
又∵AP=10-2x，AB=10，AM=y，AC=5，
∴y=-x+5；
∵x≥0，y≥0，
∴自变量x的取值范围为0≤x≤5．

（2）S=

1

2

BP•AM
=

1

2

•2x（-x+5）
=-x²+5x
=-(x-

5

2

)2+

25

4

．
∴当x=

5

2

时，S有最大值，最大值为

25

4

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．