Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点A，点C在x轴的负半轴上，并且OC=OB，一动点P在射线AB上运动，连结CP交y轴于点D，连结BD．过B，P，D三点作圆，交y轴与点E，过点E作EF∥x轴，交圆于点F，连结BF，DF．

（1）求点C的坐标．

（2）若动点P在线段AB上运动，

①求证∠EDB=∠ADP；

②设AP=n，CP=m，求当n为何值时，m的值最小？最小值是多少？

（3）试探究：点P在运动的过程中，当△BDF为直角三角形，并且两条直角边之比为2：1时，请直接写出OD的长　 　．

Answer 1

       解：（1）令x=0，则y=4，

∴A（0，4），

令y=0，则﹣+4=0，x=3，

∴B（3，0），

又∵OC=OB=3，且点C在负半轴上，

∴C点的坐标为（﹣3，0）；

（2）①在△DOC与△DOB中，

，

∴△DOC≌△DOB（SAS），

∴∠CDO=∠BDO，

又∵∠CDO=∠ADP，

∴∠BDO=ADP，

即∠BDE=∠ADP；

②要使CP的长最短，则需CP⊥AB，

∴∠CPB=90°，

∵∠CBP=∠ABO，

∠AOB=∠CPB=90°，

∴Rt△BPC∽Rt△BOA，

∴，

∴==，

解得：n=，m=，

即n=时，m有最小值，最小值为；

（3）①当BD：BF=2：1时，

如图1，过点F作FH⊥OB于点H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，

∴∠DBO=∠BFH，

又∵∠DOB=∠BHF=90°，

∴△BOD∽△FHB，

∴===2，

∴FH=，OD=2BH，

∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，

∴四边形OEFH是矩形，

连结PE，

∵∠ADP是△DPE的一个外角，

∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，

∵∠BDE是△ABD的一个外角，

∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，

∴∠DPE=∠OAB，

∴∠DFE=∠OAB，

∴=，即=，

∴DE=EF，

∴OD+=×（3﹣OD），解得OD=；

②当=时，

如图2，连结EB，过点F作FG⊥OB于点G，

同理可得DE=EF，

同理可得：△BOD∽△FGB，

∴===，

∴FG=6，OD=BG，

∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，

∴四边形OEFG是矩形，

6﹣OD=×（3+2OD），解得OD=．

综上所述：当△BDF为直角三角形，并且两条直角边之比为2：1时，OD的长为或．

故答案为：或．