题目内容
如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=3，BC=6，AB=3，正方形BEFG内接于△ABC，点E在BC边上，点F在对角线AC上，点G在AB边上．
（l）求正方形BEFG的边长；
（2）将（l）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG，当点B′与点C重合时停止平移，设平移的距离为t．
①当t= 时，正方形B′EFG的顶点F落在CD上，此时点G （填”在”或”不在”）直线AC上；
②在上述平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式以及写明自变量t的取值范围．
（l）求正方形BEFG的边长；
（2）将（l）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG，当点B′与点C重合时停止平移，设平移的距离为t．
①当t=
②在上述平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式以及写明自变量t的取值范围．
考点：几何变换综合题
专题：
分析：（1）证明△AGF∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（2）①根据△CGF∽△CDA，求得FG的长，据此即可判断；
②分0≤t≤2，2＜t≤4和4＜t≤6三种情况进行讨论，根据三角形的面积公式即可求得函数的解析式．
（2）①根据△CGF∽△CDA，求得FG的长，据此即可判断；
②分0≤t≤2，2＜t≤4和4＜t≤6三种情况进行讨论，根据三角形的面积公式即可求得函数的解析式．
解答：解：（1）如图①，
设正方形BEFG的边长为x，则BG=GF=x，AG=3-x，
∵正方形BEFG内接于△ABC，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴
=
．
∵GF=x，BC=6，AG=3-x，AB=3，
∴
=
，
解得：x=2；
（2）①∵GF∥BC，
∴
=
=
，
又∵FG∥AD，
∴△CGF∽△CDA，
∴
=
=
，
则FG=2．
又∵正方形的边长是2，
∴点G在AC上；
②如图②，设AC交EF、FG于点M、N，
则FN=t，
∵GF∥BC
∴∠FNM=∠ACB，
∴tan∠FNM=
=tan∠ACB=
=
=
∴FM=
FN=
t，
∴S=S△FNM=
FM•FN=
t•
t=
t2 （0≤t≤2）；
如图③，设AC交EF于点M，交B′G于点H，
设CD交EF、FG于点P、Q，
则FN=t，FQ=NG=t-2，同上知，FM=
t，
GH=
（t-2），作DT⊥BC于T，则四边形ABTD为矩形，
∴DT=AB=3，
BT=AD=3，
∴TC=BC-BT=6-3=3，
∴TC=DT，
∴∠DCB=45°，
∵GF∥BC
∴∠FQP=∠DCB=45°，
∴FP=FQ=t-2，
∴S=S△FNM-S△NGH-S△FPQ=
t2-
（t-2）•
（t-2）-
×（t-2）2
=-
t2+3t-3 （2＜t≤4）；
如图④，设AC交FG、B′G于点N、H，CD交FG于点Q，交B′G于点W，
同图③中结论，NG=t-2，GH=
（t-2），
∠FQC=∠DGB′=45°，
∴WG=GQ=t-2-2=t-4，
WH=GH-GW=
（t-2）-（ t-4）=3-
t
又∵B′C=6-t．
∴S=S△HWC=
WH•B′C=
（3-
t）×（6-t）
=
t2-3t+9（4＜t≤6）．
设正方形BEFG的边长为x，则BG=GF=x，AG=3-x，
∵正方形BEFG内接于△ABC，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴
| GF |
| BC |
| AG |
| AB |
∵GF=x，BC=6，AG=3-x，AB=3，
∴
| x |
| 6 |
| 3-x |
| 3 |
解得：x=2；
（2）①∵GF∥BC，
∴
| FC |
| AC |
| BG |
| AB |
| 2 |
| 3 |
又∵FG∥AD，
∴△CGF∽△CDA，
∴
| FG |
| AD |
| FC |
| AC |
| 2 |
| 3 |
则FG=2．
又∵正方形的边长是2，
∴点G在AC上；
②如图②，设AC交EF、FG于点M、N，
则FN=t，
∵GF∥BC
∴∠FNM=∠ACB，
∴tan∠FNM=
| FM |
| FN |
| AB |
| BC |
| 3 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴FM=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴S=S△FNM=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
如图③，设AC交EF于点M，交B′G于点H，
设CD交EF、FG于点P、Q，
则FN=t，FQ=NG=t-2，同上知，FM=
| 1 |
| 2 |
GH=
| 1 |
| 2 |
∴DT=AB=3，
BT=AD=3，
∴TC=BC-BT=6-3=3，
∴TC=DT，
∴∠DCB=45°，
∵GF∥BC
∴∠FQP=∠DCB=45°，
∴FP=FQ=t-2，
∴S=S△FNM-S△NGH-S△FPQ=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=-
| 1 |
| 2 |
如图④，设AC交FG、B′G于点N、H，CD交FG于点Q，交B′G于点W，
同图③中结论，NG=t-2，GH=
| 1 |
| 2 |
∠FQC=∠DGB′=45°，
∴WG=GQ=t-2-2=t-4，
WH=GH-GW=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
又∵B′C=6-t．
∴S=S△HWC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 4 |
点评：本题考查了图形的平移变换，是三角形的面积与函数的综合题，正确对x的范围进行分类，正确利用三角形的面积公式求解是关键．
练习册系列答案
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