Question

如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D．
（1）求证：BD=CD；
（2）若tanC=3，求sinA．

Answer 1

分析：（1）连接AD，则AD是⊥BC，根据等腰三角形中三线合一定理即可证得；
（2）设AC与⊙O交于点E，连接BE，则△BEC是直角三角形，△ACD也是直角三角形，设CD=m，设AE=n，根据勾股定理即可得到m、n直角的关系，利用三角函数定义即可求解．

解答：解：（1）证明：连接AD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC
∴BD=DC；
（2）设AC与⊙O交于点E，连接BE．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵tanC=3
∴tanC=

BE

CE

=3
设CD=m，则BE=3m，设AE=n
∴AB=AC=m+n
在Rt△ABE中，由AE²+BE²=AB²得n²+9m²=（m+n）²，n=4m，AB=5m．
∴sinA=

BE

AB

=

3

5

．

点评：本题是圆周角定理，等腰三角形的性质定理以及三角函数的综合应用，正确根据三角函数的定义，把三角函数值转化为线段的比，从而作出辅助线是关键．