Question

已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程（b+c）x²+2ax+（c-b）=0有两个相等的实数根，c=5，a+b=

m2-4 + 4-m2

m+2

+3

2

+2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：先根据方程有两个相等的实数根判断出三角形的形状，再根据二次根式有意义的条件求出m的值，根据直角三角形的面积公式即可解答．

解答：解：∵关于x的方程（b+c）x²+2ax+（c-b）=0有两个相等的实数根，
∴△=4a²-4（b+c）（c-b）=0，即4（a²+b²-c²）=0，即a²+b²=c²，
∴此三角形是以c为斜边的直角三角形，
∵a+b=

m2-4 + 4-m2

m+2

+3

2

+2，
∴

m2-4≥0 4-m2≥0

，解得m=2或m=-2（不合题意，舍去），
∴a+b=3

2

+2，
∴（a+b）²=（3

2

+2）²，
∵c=5，
∴2ab=（3

2

+2）²-25=-3+12

2

，
∴S_△ABC=

12 2 -3

4

．
故此三角形的面积为

12 2 -3

4

．

点评：本题考查的是勾股定理的逆定理、根的判别式、二次根式有意义的条件及三角形的面积公式，熟知以上知识是解答此题的关键．