Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB=OC．

（1）求点B的坐标；
（2）点P从C点出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OC，交折线C-O-B于点H，设点P的运动时间为t秒（0≤t≤10），
①若△CPH的面积为S，请求出S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；
②以P为圆心，PC长为半径作⊙P，当⊙P与直线OB相切时，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知，B点的纵坐标等于A点的纵坐标．OC=OB可知A、B在以坐标原点O为圆心，以OC长为半径的圆上，即可得出B点坐标；
（2）①首先根据已知条件，确定出P点、H点的坐标，注意分段讨论得出，分别用t表示△CPH的面积进而得出答案；
②首先确定B点、P点的坐标．再根据△OBP分别以OP、OB为底边的面积求法，列出关于t的等量关系式，解t即可．
解答：解：（1）∵AB∥OC，OC=OB，A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0）
∴B点纵坐标为8，设横坐标为x，则，
解得；
∴B点坐标为：（6，8）；

（2）①如图2，过点B作BN⊥OC于点N，过点H作HP⊥OC于点P，
∵ON=6，则NC=10-6=4，
∴当0＜t≤4时，
设PC=t，∵HP∥BN，
∴=，
∴=，
解得：HP=2t，
点P的坐标为（10-t，0），点H的坐标为（10-t，2t），
S_△HPC=PC•PH=×t×2t=t²，
当t=4时此时S_△HPC最大，S=16；
如图2，当4＜t＜10时，由（1）可知，正比例函数OB的解析式是y=x，
点P的坐标为（10-t，0），点H的坐标为（10-t，），
S_△HPC=PC•PH=×t×（10-t）=（t-5）²+，
当t=5时此时S_△HPC最大，S=；
故S的最大值为；

②如图3，连接PB，OB与圆P相切，切点为K，PC=t，
由（1）知B点的坐标为（6，8），
OB==10，
P点的坐标为（10-t，0），
对于△OBP，S_△OBP=OP•OA=OB•PK，即（10-t）×8=10×PK，
∴PK=（10-t），
又∵PK、PC均为⊙P的半径，
∴PK=PC，即（10-t）=t，
解得t=．
所以，当⊙P与直线OB相切时，t=．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理以及平行四边形的性质，平面直角坐标系等知识点，要注意（2）中，分段函数的应用，从而得出S与t的函数关系式．