Question

如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于点D，且∠D=∠BAC．
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）若BC=2，CE=

2

，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠BCA=90°．
又∵BC∥OD，
∴OE⊥AC．
∴∠D+∠DAE=90°．
∵∠D=∠BAC，
∴∠BAC+∠DAE=90°．
∴AD是半圆O的切线．

（2）∵BC∥OD，
∴△AOE∽△ABC，
∵BA=2AO，
∴

AO

BA

=

AE

AC

=

1

2

，又CE=

2

，
∴AC=2CE=2

2

．
在Rt△ABC中，
AB=

AC2+BC2

=

(2 2 )2+22

=2

3

，
∵∠D=∠BAC，∠ACB=∠DAO=90°，
∴△DOA∽△ABC．
∴

AD

AC

=

OA

BC

即

AD

2 2

=

3

2

．
∴AD=

6

．