Question

【题目】如图,AB是半圆圆O的直径,C是弧AB的中点,M是弦AC的中点,CH⊥BM,垂足为H.求证

（1）∠AHO=90°

（2）求证：CH=AHOH.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）连接OC、BC，可得∠BOC＝∠BHC＝90°，可得点O、B、C、H四点共圆，继而根据圆周角定理得出∠OHB＝∠OCB＝45°，然后证明△AMH∽△BMA，根据相似得出角相等，进而证得∠AHO＝90°；

（2）由（1）可知∠AHM＝∠BHO，∠MAH＝∠MBA，易证△AMH∽△BOH，最后根据相似三角形的性质证得结果．

解：(1)连接OC、BC，

∵C是弧AB的中点，M是弦AC的中点，

∴∠BOC＝∠BHC＝90°，

则点O、B、C、H四点共圆，

∴∠OHB＝∠OCB＝45°，

∵∠BCM＝90°，CH⊥BM，M为AC的中点，

∴AM2＝CM2＝MHMB，

即，

∴△AMH∽△BMA，

则∠MAH＝∠MBA，∠AHM＝∠BAM＝45°，

∴∠AHO＝180°-∠AHM-∠OHB=90°，

（2）由（1）可知∠AHM＝∠BHO，∠MAH＝∠MBA

∴△AMH∽△BOH，

∴，

则AHOH＝MHBH，

∵CH2＝MHBH，

∴CH2＝AHOH．