Question

如同，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H，已知⊙O与AB边相切，切点为F，连结OF．
（1）求证：OE∥AB；
（2）判定四边形OEHF的形状，并加以说理；
（3）若已知BH=1，BE=4，求CE的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：计算题

分析：（1）根据等腰梯形的性质得∠B=∠C，而∠C=∠OEC，则∠OEC=∠B，根据平行线的判定得到OE∥AB；
（2）由EH⊥AB得∠EHF=90°，再由OE∥AB得∠OEH=90°，根据切线的性质得∠OFH=90°，则可判断四边形OEHF为矩形，加上OF=OE，于是可判断四边形OEHF为正方形；
（3）连结DE，在Rt△BEH中，根据勾股定理可计算出HE=

15

，则OE=HE=

15

，所以DC=2OE=2

15

，由于DE为直径，根据圆周角定理得∠DEC=90°，加上∠B=∠C，可判断△BEH∽△CDE，利用相似比可计算出EC．

解答：（1）证明：∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵OE=OC，
∴∠C=∠OEC，
∴∠OEC=∠B，
∴OE∥AB；
（2）解：四边形OEHF为正方形．理由如下：
∵EH⊥AB，
∴∠EHF=90°，
∵OE∥AB，
∴∠OEH=90°，
∵⊙O与AB边相切，切点为F，
∴OF⊥AB，
∴∠OFH=90°，
∴四边形OEHF为矩形，
而OF=OE，
∴四边形OEHF为正方形；
（3）解：连结DE，如图，
在Rt△BEH中，BH=1，BE=4，
∴HE=

BE2-BH2

=

15

，
∴OE=HE=

15

，
∴DC=2OE=2

15

，
∵DE为直径，
∴∠DEC=90°，
而∠B=∠C，
∴△BEH∽△CDE，
∴

BE

DC

=

BH

EC

，即

4

2 15

=

1

EC

，
∴EC=

15

2

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和切线的性质；理解特殊四边形的判定与性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算．