Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，AE是⊙O的直径．
（1）求证：AB•AC=AD•AE；
（2）当AB=

2

，∠EAC=45°，AB：AE=

2

：4，求tan∠ACB的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）连接BE，由AD是⊙O的内接△ABC的高，AE是⊙O的直径，可得∠ABE=∠ADC=90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，可得∠E=∠C，即可证得△ABE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AB•AC=AD•AE．
（2）由（1）AB•AC=AD•AE得到AB：AE=AD：AC，结合勾股定理可以求得答案．

解答：（1）证明：连接BE，
∵AD是⊙O的内接△ABC的高，AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∵∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC，
∴AB：AD=AE：AC，
∴AB•AC=AD•AE．

（2）解：∵∠EAC=45°，
∴∠B=45°，AB=

2

，
∴AD=BD=1，
由（1）AB•AC=AD•AE得到：AB：AE=AD：AC=

2

：4，
∴AC=4，
根据勾股定理得：CD=

AC2-AD2

=

42-12

=

15

，
所以tan∠ACB=

AD

CD

=

1

15

=

15

15

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理，勾股定理的应用．此题难度适中，注意线段成比例形式的变化．