Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D，连接CD、BD．
（1）求证：△ABC∽△OEB；
（2）设∠CDB=α，∠ACB=β，试找出α与β间的数量关系式，并给予证明；
（3）若AB=2，α=120°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到，∠ABC=90°证得∠ABC=∠OEB，根据等边对等角证得∠OBC=∠OCB，从而证明两个三角形相似；
（2）根据圆内接四边形对角互补可以利用∠BDC表示出∠A，然后根据直角三角形两锐角互余即可得到结论；
（3）根据（2）的结论可求得∠ACB的度数，则根据圆周角的定理求得∠AOB的度数，证明△AOB是等边三角形，然后利用扇形的面积公式求解．
解答：证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
又∵OD⊥BC于E，
∴AB∥OD，∠ABC=∠OEB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴△ABC∽△OEB；

（2）∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=180°-∠BCD=180°-α，
∵直角△ABC中，∠A+∠ACB=90°，
∴180°-α+β=90°，
∴α-β=90°；

（3）∵α=120°
∴β=120°-90°=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴S_扇形AOB==，
S_△AOB==，
则S_阴影=-．
点评：本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，正确证明△AOB是等边三角形是关键．