Question

如图，正方形ABCD的边长为2，M是AD的中点，连接BM，BM的垂直平分线交BC的延长线于F，连接MF交CD于N．
（1）求证：BM=EF；
（2）求CF的长．

Answer 1

（1）证明：∵M为AD的中点，
∴AM=DM=AD=AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AMB，
∵EF⊥BM，
∴∠A=∠BEF=90°，
∴△EBF∽△AMB，
∴==，
∴EF=2BE=BM，
即BM=EF；

（2）解：过M作MH⊥BC于H，
则四边形AMHB和四边形MDCH是矩形，
即DM=CH=1，BH=AM=1，MH=CD=2，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：EF=BM==，
S_△BMF=BM×EF=××=，
∴S_△BHM+S_△MHF=，
∴×1×2+×（1+CF）×2=，
∴CF=．
分析：（1）根据AD∥BC推出∠AMB=∠EBC，证△AMB∽△EBF，推出EF=2BE，根据BM=2BE推出即可．
（2）过M作MH⊥BC于H，得出四边形AMHB和四边形MDCH是矩形，根据勾股定理求出BM、EF，求出△MBF面积，根据S_△BHM+S_△MHF=得出×1×2+×（1+CF）×2=，求出即可．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形性质等知识点，主要考查学生是否熟练运用性质进行推理和计算，题目综合性比较强，有一定的难度．