Question

如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD．
（1）求证：AC=BD
（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，问：四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB=CD，
∴=
∴-=-，即=
∴AC=BD
（2）四边形OFEG是正方形．
理由：连接OA、OD．
∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，
∴四边形OFEG是矩形；
∵OF⊥CD，OG⊥AB，
∴DF=CD，AG=AB，
∵AB=CD，∴DF=AG；
∵OD=OA，
∴Rt△OFD≌Rt△OGA （HL）
∴OF=OG，
∴矩形OFEG是正方形．
分析：（1）根据已知条件AB=CD可以推知=，然后由图可以知-=-，即=；由圆心角、弧、弦间的关系可以证得AC=BD；
（2）连接OA、OD．首先根据矩形的判定定理可以推知四边形OFEG是矩形；然后由已知条件AB=CD、垂径定理推知DF=AG，再由圆的半径OA=OD可以证得Rt△OFD≌Rt△OGA （HL），由全等三角形的对应边相等可以证得OF=OG；最后根据正方形的判定定理可知矩形OFEG是正方形．
点评：本题考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、弧与弦的关系以及正方形的判定．在解答（2）时，利用了“邻边相等的矩形是正方形”．