Question

已知等边△ABC和三角形内一点P，设点P到△ABC三边的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．

（1）请写出h与h₁、h₂、h₃的关系式，并说明理由；
（2）若点P在等边△ABC的边上，仍有上述关系吗？
（3）若点P在三角形外，仍有上述关系吗？若有，请你证明，若没有，请你写出它们新的关系式，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）连接PA，PB，PC，由S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB，可得

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂+

1

2

BC•h₃，又由△ABC是等边三角形，即可得h=h₁+h₂+h₃；
（2）利用（1）的证明方法，可从P在AC上，则h₂=0，去分析，仍可求得h=h₁+h₂+h₃；
（3）连接PA，PB，PC，则可得S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC-S_△PAB，然后利用（1）中的分析方法，即可求得h=h₁+h₂-h₃．

解答：解：（1）连接PA，PB，PC，
则S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB，
∴

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂+

1

2

BC•h₃，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h=h₁+h₂+h₃；

（2）仍有h=h₁+h₂+h₃；
理由：如图：设P在AC上，则h₂=0，
连接PB，
则S_△ABC=S_△PBC+S_△PAB，
∴

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

BC•h₃，
∵△ABC是等边三角形，
AB=BC=AC，
∴h=h₁+h₃；
即h=h₁+h₂+h₃；

（3）h=h₁+h₂-h₃．
连接PA，PB，PC，
则S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC-S_△PAB，
∴

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂-

1

2

BC•h₃，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h=h₁+h₂-h₃．

点评：此题考查了等边三角形的性质与三角形面积的求解方法．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．