Question

（2012•德化县模拟）如图，已知：△ABC是边长为2

3

的等边三角形，四边形DEFG是边长为3的正方形．现将等边△ABC和正方形DEFG按如图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，△ABC从图1的位置出发，以每秒

1

2

个单位长度的速度沿EF方向向右匀速运动，当点C与点F重合时暂停运动，设△ABC的运动时间为t秒（t≥0）．
（1）在运动过程中，设AC交DE于点P，PE=

3

2

t；
（2）在整个运动过程中，设等边△ABC和正方形DEFG重叠部分的面积为S，
①当t为何值时，S等于△ABC面积的三分之一；
②当点A在DG上运动时，请求出S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围；
（3）如图2，若四边形DEFG是边长为2

3

的正方形，△ABC的移动速度为每秒

3

2

个单位长度，其余条件保持不变．△ABC开始移动的同时，Q点从F点开始，沿折线F-G-D以每秒

3

个单位长度开始移动，△ABC停止运动时，Q点也停止运动．设在运动过程中，DE交折线B-A-C于P点，则是否存在t的值，使得PC与EQ互相垂直？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用△ABC运动速度以及锐角三角函数关系和等边三角形的性质得出即可；
（2）①利用三角形的面积公式可以表示出0≤t＜2

3

时重叠部分的面积进而得出S等于△ABC面积的三分之一时t的值；
②利用三角形的面积公式可以表示出2

3

≤t≤6时重叠部分的面积；
（3）再运动中当0≤t＜2时，如图2，△PEC∽△EFQ，可以求出t值；当2≤t≤4时，如图3，△PEC∽△QDF，可以求出t值．

解答：解：（1）∵EC=

1

2

t，∠PCE=60°，
∴PE=EC×tan60°=

3

2

t，
故答案为：

3

2

；

（2）依题意得：EC=

1

2

t，
①当0≤t＜2

3

时，S=

1

2

EC•PE=

3

8

t2
易求得等边三角形ABC的高为3，
∴S_△ABC=

1

2

×2

3

×3=3

3

，
∵S=

1

3

S_△ABC
∴

3

8

t2=

1

3

×3

3

解得t=2

2

；
②当0≤t＜2

3

时，
S=

1

2

EC•PE=

3

8

t2；
当2

3

≤t≤6时，
S=S_△ABC-S_△BPE=3

3

-

1

2

BE×PF
=3

3

-

1

2

×（2

3

-

1

2

t）（2

3

-

1

2

t）×

3

=-

3

8

t²+3t-3

3

；

（3）存在，
当∠EPC=∠FEQ时，PC与EQ互相垂直，
当0≤t＜2时，如图2，
∵∠QEF+∠ECP=90°，
∠QEF+∠EQF=90°，
∴∠ECP=∠EQF，
又∵∠PEC=∠F=90°，
∴△PEC∽△EFQ，
∴

PE

EF

=

EC

FQ

即

3 2 t

2 3

=

3 2 t

3 t

，
解得：t=

2

3

3

；
当2≤t＜4时，如图3，
∵∠DQE+∠DEQ=90°，
∠CPE+∠PEQ=90°，
∴∠DQE=∠EPC，
又∵∠PEC=∠D=90°，
∴△PEC∽△QDE，
∴

PE

QD

=

EC

DE

即

(2 3 - 3 2 t) 3

4 3 - 3 t

=

3 2 t

2 3

，
化简得：t²-（4+2

3

）t+8

3

=0，
解得：t₁=4，t₂=2

3

，
∴当t=

2

3

3

，4或2

3

时，PC与EQ互相垂直．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质和勾股定理的运用，利用分段函数性质求出是解题关键．