Question

如图，已知抛物线y=x²-2x+m交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于C点，且OB=OC，连接BC，

（1）直接写出m的值和B，C两点的坐标；（3分）

（2）P点在直线BC下方的抛物线上，△BCP的面积为S，求S最大时，P的坐标；（4分）

（3）抛物线的对称轴交抛物线于D点，交x轴于E点，在抛物线上是否存在点M，过M点作MN⊥BD于N点，使△DMN与BDE相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由。（5分）

 

Answer 1

解：（1）m=3，B(3,0),C(0,-3).…………………（3分）

(2) 抛物线y=x²-2x﹣3，设直线BC的解析式为y=kx+b,

由得，

∴直线BC的解析式为y=x﹣3, …………………（5分）              

设M（x,y），则

                ==…………………（6分）

∴y=,

∴M的坐标为…………………（7分）

（3）存在。D(1，-4) ，…………………（8分）

①如图，若P在对称轴左边的抛物线上，记为P₁，P₁Q₁⊥BD于Q₁，

当△P₁DQ₁∽△DBE时，∠P₁DQ₁=∠DBE

延长DP₁交x轴于G点，则DG=BG，

设G点坐标为（x，0），BG=x+3

由勾股定理得DG=，

∴，解得，x=2，∴G点坐标为（-2，0），

易得直线DG的解析式为,…………………（9分）

由解得，，

∴P₁的坐标为；…………………（10分）

②如图，若P在对称轴右边的抛物线上，记为P₂，P₂Q₂⊥BD于Q₂，

同理可得P₂的坐标为