题目内容

如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l： $数学公式$ 与x轴、y轴分别交于点M、N，一个高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移．
（1）在平移过程中，得到△A₁B₁C₁，此时顶点A₁恰落在直线l上，写出A₁点的坐标______；
（2）继续向右平移，得到△A₂B₂C₂，此时它的外心P恰好落在直线l上，求P点的坐标；
（3）在直线l上是否存在这样的点，与（2）中的A₂、B₂、C₂任意两点能同时构成三个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

解：（1）∵等边三角形ABC的高为3，
∴A₁点的纵坐标为3，
∵顶点A₁恰落在直线l上，
∴3= $\text{[math]}$ ，
解得；x= $\text{[math]}$ ，
∴A₁点的坐标是（ $\text{[math]}$ ，3），
故答案为：（ $\text{[math]}$ ，3）；

（2）设P（x，y），连接A₂P并延长交x轴于点H，连接B₂P，
在等边三角△A₂B₂C₂中，高A₂H=3，
∴A₂B₂=2 $\text{[math]}$ ，HB₂= $\text{[math]}$ ，
∵点P是等边三角形A₂B₂C₂的外心，
∴∠PB₂H=30°，
∴PH=1，即y=1，
将y=1代入 $\text{[math]}$ ，
解得：x=3 $\text{[math]}$ ，
∴P（3 $\text{[math]}$ ，1）；

（3）∵点P是等边三角形A₂B₂C₂的外心，
∴△PA₂B₂，△PB₂C₂，△PA₂C₂是等腰三角形，
∴点P满足的条件，由（2）得P（3 $\text{[math]}$ ，1），
由（2）得，C₂（4 $\text{[math]}$ ，0），点C₂满足直线 $\text{[math]}$ 的关系式，
∴点C₂与点M重合，
∴∠PMB₂=30°，
设点Q满足的条件，△QA₂B₂，△B₂QC₂，△A₂QC₂能构成等腰三角形，
此时QA₂=QB₂，B₂Q=B₂C₂，A₂Q=A₂C₂，
作QD⊥x轴与点D，连接QB₂，
∵QB₂=2 $\text{[math]}$ ，∠QB₂D=2∠PMB₂=60°，
∴QD=3，
∴Q（ $\text{[math]}$ ，3），
设点S满足的条件，△SA₂B₂，△C₂B₂S，△C₂PA₂是等腰三角形，
此时SA₂=SB₂，C₂B₂=C₂S，C₂A₂=C₂S，
作SF⊥x轴于点F，
∵SC₂=2 $\text{[math]}$ ，∠SB₂C₂=∠PMB₂=30°，
∴SF= $\text{[math]}$ ，
∴S（4 $\text{[math]}$ -3， $\text{[math]}$ ），
设点R满足的条件，△RA₂B₂，△C₂B₂R，△C₂A₂R能构成等腰三角形，
此时RA₂=RB₂，C₂B₂=C₂R，C₂A₂=C₂R，
作RE⊥x轴于点E，
∵RC₂=2 $\text{[math]}$ ，∠RC₂E=∠PMB₂=30°，
∴ER= $\text{[math]}$ ，
∴R（4 $\text{[math]}$ +3，- $\text{[math]}$ ），
答：存在四个点，分别是P（3 $\text{[math]}$ ，1），Q（ $\text{[math]}$ ，3），S（4 $\text{[math]}$ -3， $\text{[math]}$ ），R（4 $\text{[math]}$ +3，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据等边三角形ABC的高为3，得出A₁点的纵坐标为3，再代入 $\text{[math]}$ 即可；
（2）设P（x，y），连接A₂P并延长交x轴于点H，连接B₂P，先求出A₂B₂=2 $\text{[math]}$ ，HB₂= $\text{[math]}$ ，根据点P是等边三角形A₂B₂C₂的外心，得出PH=1，将y=1代入 $\text{[math]}$ ，即可得出点P的坐标；
（3）根据点P是等边三角形A₂B₂C₂的外心，得出△PA₂B₂，△PB₂C₂，△PA₂C₂是等腰三角形，得P（3 $\text{[math]}$ ，1），由（2）得，C₂（4 $\text{[math]}$ ，0），点C₂满足直线 $\text{[math]}$ 的关系式，得出点C₂与点M重合，∠PMB₂=30°，设点Q满足的条件，△QA₂B₂，△B₂QC₂，△A₂QC₂能构成等腰三角形，则QA₂=QB₂，B₂Q=B₂C₂，A₂Q=A₂C₂，作QD⊥x轴与点D，连接QB₂，根据QB₂=2 $\text{[math]}$ ，∠QB₂D=2∠PMB₂=60°，求出Q（ $\text{[math]}$ ，3），设点S满足的条件，△SA₂B₂，△C₂B₂S，△C₂PA₂是等腰三角形，则SA₂=SB₂，C₂B₂=C₂S，C₂A₂=C₂S，作SF⊥x轴于点F，根据SC₂=2 $\text{[math]}$ ，∠SB₂C₂=∠PMB₂=30°，求出S（4 $\text{[math]}$ -3， $\text{[math]}$ ），
设点R满足的条件，△RA₂B₂，△C₂B₂R，△C₂A₂R能构成等腰三角形，则RA₂=RB₂，C₂B₂=C₂R，C₂A₂=C₂R，作RE⊥x轴于点E，根据RC₂=2 $\text{[math]}$ ，∠RC₂E=∠PMB₂=30°，R（4 $\text{[math]}$ +3，- $\text{[math]}$ ）．
点评：此题考查了一次函数综合，用到的知识点是一次函数的图象与性质、解直角三角形、等腰三角形、外心、坐标等，关键是综合应用有关性质，求出所有符合条件的点的坐标．