Question

已知：如图，△ABC中，点O是AC上边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，

MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证EO＝FO．

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）∵  CE平分∠BCA，

∴  ∠BCE＝∠ECO．

又  MN∥BC，

∴  ∠BCE＝∠CEO．

∴  ∠ECO＝∠CEO．

∴  OE＝OC．

同理  OC＝OF．

∴  OE＝OF．

（2）当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形，证明如下：

∵  OE＝OF，又O是AC的中点，

即  OA＝OC，

∴  四边形AECF是平行四边形．

∵  CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD，且∠BCA＋∠ACD＝180°，

∴  ∠ECF＝∠ECO＋∠OCF＝（∠BCA＋∠ACD）＝90°．

∴  □AECF是矩形．