Question

已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，BD=DE，点E在AC的垂直平分线上．
（1）请问：AB、BD、DC有何数量关系？并说明理由．
（2）如果∠B=60°，请问BD和DC有何数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由AD⊥BC，BD=DE，点E在AC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=EC，AB=AE，继而证得AB+BD=AE+DE=DC．
（2）易得△ABE是等边三角形，则可得△ABC是直角三角形，且∠BAD=∠C=30°，然后由含30°角的直角三角形的性质，证得结论．

解答：解：（1）AB+BD=DC．
证明：∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AB=AE，BD=DE，
∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=CE，
∴AB+BD=AE+DE=DC．

（2）DC=3BD．
证明：∵AB=AE，∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=∠B=∠BAE=60°，
∵AE=EC，
∴∠C=∠CAE=

1

2

∠AEB=30°，
∴∠BAC=90°，∠BAD=30°，
在Rt△ABC中，BC=2AB，
在Rt△AABD中，AB=2BD，
∴BC=4BD，
∴DC=3BD．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．