Question

如图所示，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x 轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作圆P。
（1）连结PA，若PA=PB，试判断OP与x轴的位置关系，并说明理由。
（2）当k为何值时，以圆P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

Answer 1

解：（1）⊙P与x轴相切，
理由：直线y=-2x-8与x轴交于A（-4，0），与y轴交于B（0，-8），
∴OA=4，OB=8，
由题意，OP=-k，
∴PB=PA=8+k，
在Rt△AOP中，k²+4²=（8+k）²，
∴k=-3，
∴OP等于⊙P的半径，
∴⊙P与x轴相切；
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD，
当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E，
∵△PCD为正三角形，
∴DE=CD=，PD=3，
∴PE=
∵∠AOB=∠PEB= 90°，∠ABO=∠PBE，
∴△AOB∽△PEB，
∴，
即
 ∴PO=BO-BP=
当圆心P在线段OB延长线上时，同理可得
∴，
∴当或
以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形。