Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c(a>0) 的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）， OB=OC ，tan∠ACO=
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度。

Answer 1

解：（1）方法一：由已知得：C（0，-3），A（-1，0） 将A、B、C三点的坐标代入得  解得 所以这个二次函数的表达式为： 方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0） 设该表达式为： 将C点的坐标代入得： 所以这个二次函数的表达式为： （2）方法一：存在，F点的坐标为（2，-3） 易得D（1，-4），所以直线CD的解析式为： ∴E点的坐标为（-3，0） 由A、C、E、F四点的坐标得：AE=CF=2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴存在点F，坐标为（2，-3） 方法二：易得D（1，-4），所以直线CD的解析式为： ∴E点的坐标为（-3，0） ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形 ∴F点的坐标为（2，-3）或（―2，―3）或（-4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，-3）符合 ∴存在点F，坐标为（2，-3） （3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0） 则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得 ②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），则N（r+1，-r） 代入抛物线的表达式，解得 ∴圆的半径为或。