Question

如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：点E是

BD

的中点；
（2）若sin∠BAD=

4

5

，⊙O的半径为5，求DF的长．

Answer 1

分析：（1）连OD，由AD∥OC，根据平行线的性质得到∠DOC=∠ADO，∠BOC=∠OAD，而∠OAD=∠ADO，则∠DOC=∠BOC，即可得到结论；
（2）连DB，根据圆周角定理的推论得到∠ADB=90°，再利用三角函数可计算出BD=8，根据勾股定理可计算出AD=6，由于DF⊥AB，根据垂径定理得到DG=FG，利用面积公式可计算出DG的长，从而得到DF的长．

解答：（1）证明：连OD．
∵AD∥OC，
∴∠DOC=∠ADO，∠BOC=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DOC=∠BOC，
∴弧DE=弧BE，即点E是

BD

的中点；

（2）解：连DB，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴sin∠BAD=

DB

AB

，
∴

DB

10

=

4

5

，
∴DB=8，
∴AD=

AB2-BD2

=6，
∵DF⊥AB，
∴DG=FG，S_△ABD=

1

2

DG•AB=

1

2

AD•BD，即DG=

6×8

10

=

24

5

，
∴DF=2DG=

48

5

．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了平行线的性质、圆周角定理以及解直角三角形．