Question

【题目】如图，平行四边形中，对角线交于，，

（1）若的周长为，求平行四边形的周长；

（2）若，平分，试求的度数．

Answer 1

【答案】（1）24cm；（2）36°

【解析】

（1）根据平行四边形的对角线互相平分得：OA=OC．又OE⊥AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得：AE=CE．故△ABE的周长为AB+BC的长．最后根据平行四边形的对边相等得：ABCD的周长为2×12=24cm．

（2）由已知条件和平行四边形的性质易求∠DAB=∠BAE+∠CAE+∠CAD=3∠CAD=108°，进而可求出∠ACB的度数．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC．

∵OE⊥AC，

∴AE=CE．

∴△ABE的周长为AB+AC=12cm，

根据平行四边形的对边相等得，

平行四边形ABCD的周长为2×12=24cm．

（2）∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE，

∵OA=OC，OE⊥AC，

∴AE=CE．

∴△ACE是等腰三角形，

∴∠CAE=∠ACB

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ACB=∠CAD，∠ABC+∠DAB=180°

∴∠DAB=∠BAE+∠CAE+∠CAD=3∠CAD

∵∠ABC=72°，

∴∠DAB=180°-72°=108°，

∴3∠CAD=108°，即∠CAD=36°，

∴∠ACB=∠CAD=36°．