Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点，，，其中，以点为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为，如图所示.

（1）若，则点的坐标分别是（ ），（ ），（ ）；

（2）是否存在点，使得点在同一条抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（-3，3），（1，3），（-3，-1）（2）不存在

【解析】分析: （1）根据平行四边形对边相等的性质即可得到点的坐标.

（2）不存在. 假设满足条件的C点存在，即A，B，，，在同一条抛物线上，则线段AB的垂直平分线即为这条抛物线的对称轴，而，在直线上，则 的中点C也在抛物线对称轴上，故，即点C的坐标为（-2，n）. 而，在直线上，则 的中点C也在抛物线对称轴上，故，即点C的坐标为（-2，n）.根据为抛物线的顶点.设出抛物线的方程，把点B的坐标代入得.把点的坐标代入得到，与矛盾. 所以不存在满足条件的C点.

（1）（-3，3），（1，3），（-3，-1）

（2）不存在. 理由如下：

假设满足条件的C点存在，即A，B，，，在同一条抛物线上，则线段AB的垂直平分线即为这条抛物线的对称轴，而，在直线上，则 的中点C也在抛物线对称轴上，故，即点C的坐标为（-2，n）.

由题意得：（-4，n），（0，n），（-2，）.

注意到在抛物线的对称轴上，故为抛物线的顶点. 设抛物线的表达式是.

当时，，代入得.

所以.

令，得，解得，与矛盾.

所以不存在满足条件的C点.