Question

已知一元二次方程x²-4x+3=0的两根是m，n且m＜n，如图所示，若抛物线y=-x²+bx +c的图像经过点A（m，0）、B（0，n）；
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？
（3） 点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交与点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标。

Answer 1

解：（1）∵x2-4x+3=0的两个根为x1=1，x2=3， ∴A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（0，3）， 又∵抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A（1，0）、B（0，3）两点， ∴得 ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）作直线BC， 由（1）得，y=-x2-2x+3， ∵ 抛物线y=-x2-2x+3与x轴的另一个交点为C 令-x2-2x+3=0 解得：x1=1，x2=-3 ∴C点的坐标为（-3，0） 由图可知：当-3＜x＜0时，抛物线的图像在直线BC的上方；
（3）设直线BC交PE于F，P点坐标为（a，0）， 则E点坐标为（a，-a2-2a+3） ∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分 ∴F是线段PE的中点. 即F点的坐标是（a，） ∵直线BC过点B（0，3）和C（-3，0） 易得直线BC的解析式为y=x+3 ∵点F在直线BC上，所以点F的坐标满足直线BC的解析式 即=a+3 解得a1=-1，a2=-3（此时P点与点C重合，舍去） ∴P点的坐标是（-1，0）。