Question

6．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=4，经过对角线AC中点O的直线垂直于AC，分别交BC于E，交AD于F，求EF的长及四边形AECF的面积．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出∠B=90°，AD∥BC，由ASA证明△AOF≌△COE，得出OF=OE，得出四边形AECF是平行四边形，由EF⊥AC得出四边形AECF是菱形，得出AE=CE，设AE=CE=x，则BE=4-x，由勾股定理得出方程，解方程求出AE，再由勾股定理求出AC，得出OA=$\sqrt{5}$，由勾股定理求出OE，即可得出EF的长，四边形AECF的面积=$\frac{1}{2}$AC•EF，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠OAF=∠OCE，
∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OCE}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOF=∠COE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形，
∴AE=CE，
设AE=CE=x，则BE=4-x，
由勾股定理得：AB²+BE²=AE²，
即2²+（4-x）²=x²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OA=$\sqrt{5}$，
∴OE=$\sqrt{A{E}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴EF=2OE=$\sqrt{5}$，
∴四边形AECF的面积=$\frac{1}{2}$AC•EF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=5．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度．