Question

探究：

将一个正方体表面全部涂上颜色，试回答：

(1)把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体，我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为x_i，那么x₃＝________，x₂＝________，x₁＝________，x₀＝________；

(2)如果把正方体的棱四等分，同样沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体，与(1)同样的记法，则x₃＝________，x₂＝________，x_l＝________，x₀＝________；

(3)如果把正方体的棱n等分(n≥3)，然后沿等分线把正方体切开，得到n³个小正方体，与(1)同样的记法，则x₃＝________，x₂＝________，x₁＝________，x₀＝________．

Answer 1

答案：
解析：

(1)根据长方体的分割规律可得x3＝8，x2＝12，x1＝6，x0＝1． (2)把正方体的棱四等分时，顶点处的小正方体三面涂色共8个；有一条边在棱上的正方体有24个，两面涂色；每个面的正中间的4个只有一面涂色，共有24个；正方体正中心处的8个小正方体各面都没有涂色．故x3＝8，x2＝24，x1＝24，x0＝8． (3)由以上可发现规律：三面涂色8个，两面涂色12(n﹣2)个，一面涂色6(n﹣2)2个，各面均不涂色(n﹣2)3个．