题目内容

28、探究：
将一个正方体表面全部涂上颜色
（1）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体，我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为x_i，那么x₃=

，x₂=

，x₁=

，x₀=

；
（2）如果把正方体的棱四等分，同样沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体，那么x₃=

，x₂=

，x_l=

，x₀=

；
（3）如果把正方体的棱n等分（n≥3），然后沿等分线把正方体切开，得到n³个小正方体，那么：x₃=

，x₂=

12（n-2）

，x₁=

6（n-2）²

，x₀=

（n-2）³

；

分析：（1）根据图示：在原正方体的8个顶点处的8个小正方体上，有3个面涂有颜色；2个面涂有颜色的小正方体在每条棱的中间，共有12个；1个面涂有颜色的小正方体有6个，分布在每个面的中心；没有涂上颜色的小正方体有1个，在原正方体的中心．
（2）根据图示可发现定点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面，涂色位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色．
（3）由特殊推广到一般即可得到n等分时所得小正方体表面涂色情况．

解答：解：（1）根据长方体的分割规律可得x₃=8，x₂=12，x₁=6，x₀=1；
（2）把正方体的棱四等分时，顶点处的小正方体三面涂色共8个；有一条边在棱上的正方体有24个，两面涂色；每个面的正中间的4个只有一面涂色，共有24个；正方体正中心处的8个小正方体各面都没有涂色．故x₃=8，x₂=24，x₁=24，x₀=8；
（3）由以上可发现规律：三面涂色8，二面涂色12（n-2），一面涂色6（n-2）²，各面均不涂色（n-2）³

点评：主要考查了立体图形的认识和用特殊归纳一般规律的方法．关键是通过正方体的特点来得到有关涂色情况的规律．

练习册系列答案

（1）如果把正方体的棱4等分，所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱n等分呢？（请填写下表）：

（2）请直接写出将棱7等分时只有一个面涂色的小正方体的个数．

探究：

将一个正方体表面全部涂上颜色，试回答：

(1)把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体，我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为x_i，那么x₃＝________，x₂＝________，x₁＝________，x₀＝________；

(2)如果把正方体的棱四等分，同样沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体，与(1)同样的记法，则x₃＝________，x₂＝________，x_l＝________，x₀＝________；

(3)如果把正方体的棱n等分(n≥3)，然后沿等分线把正方体切开，得到n³个小正方体，与(1)同样的记法，则x₃＝________，x₂＝________，x₁＝________，x₀＝________．

探究：
将一个正方体表面全部涂上颜色
（1）把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体，我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为x_i，那么x₃=，x₂=，x₁=，x₀=；
（2）如果把正方体的棱四等分，同样沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体，那么x₃=，x₂=，x_l=，x₀=；
（3）如果把正方体的棱n等分（n≥3），然后沿等分线把正方体切开，得到n³个小正方体，那么：x₃=，x₂=，x₁=，x₀=；

将一个正方体的表面涂上颜色．如图把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，通过观察我们可以发现8个小正方体全是3个面涂有颜色的．
如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，通过观察我们可以发现这些小正方体中有8个是3个面涂有颜色的，有12个是2个面涂有颜色的，有6个是1个面涂有颜色的，还有1个各个面都没有涂色．

（1）如果把正方体的棱4等分，所得小正方体表面涂色情况如何呢？把正方体的棱n等分呢？（请填写下表）：
棱等分数 4等分 n等分
3面涂色的正方体　个　个
2面涂色的正方体　个　个
1面涂色的正方体　个　个
各个面都无涂色的正方体　个　个
（2）请直接写出将棱7等分时只有一个面涂色的小正方体的个数．

棱等分数	4等分	n等分
3面涂色的正方体	个	个
2面涂色的正方体	个	个
1面涂色的正方体	个	个
各个面都无涂色的正方体	个	个

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