Question

【题目】如图，直线y=-x+1与x轴．y轴分别交于A．B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点B，且与直线AB的另一交点为C（4，n）．

（1）求n的值及该抛物线所对应的函数关系式；

（2）设抛物线上的一个动点P的横坐标为t（0＜t＜4），过点P作PD⊥AB于点D，作PE∥y轴交直线AB于点E，

①y轴上存在点Q，使得四边形QEPB是矩形，请求出点Q的坐标；

②求线段PD的长的最大值；

③当t为何值时，点D为BE的中点．

Answer 1

【答案】（1）n=-2；y=x2+x+1；（2）①点Q的坐标为；②PD最大=；③当t=时，E为BE的中点．

【解析】

（1）把x=4．y=n代入中，即可求出n的值，从而求出中b，c的值；

（2）①由P点的横坐标为t，则可知P点的纵坐标为，E点的坐标为，而四边形BPEQ为矩形，点B的坐标为（0，1），则可求得，解得t值；

②易证△PED∽△EBQ，则有，PD=，得出关于t的二次函数，即可求最大值；

③点D为BE的中点，即DE=BE，代入②中，即求得此时的t值．

（1）把x=4．y=n代入中，得：n=×4+1=-2

∴点C的坐标为（4，-2）

将点C（4，-2）和（0，1）代入，得：-8+4b+1=-2

解得：b=

∴y=x2+x+1

（2）①∵P点的横坐标为t，则P点的纵坐标为，E点的纵坐标为，

∵四边形BPEQ为矩形，故PB⊥y轴

∵点B的坐标为（0，1）

∴，

解得：t1=0（舍去），t2=

∴t=，

则点E的纵坐标为：

∴点Q的坐标为

②∵PE＝t2+t+1﹣（﹣t+1）＝

QE＝t

QB＝

BE＝＝＝

∵∠BQE＝∠PDE＝90°

∠PEB＝∠EBQ

∴△PED∽△EBQ

∴，得＝

PD＝

∵

∴PD有最大值

PD最大＝＝

③∵点D为BE的中点

∴由，DE=BE，得

代入得=

整理得，25t=-12t2+48t

解得t1=0（舍去），t2=

∴当t=时，E为BE的中点