Question

如图，在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移1个单位，与x轴、y轴分别交于A、B，线段AB为边在第一象限内作等边△ABC．
（1）点A的坐标为（______

Answer 1

【答案】分析：（1）∵直线AB是由直线沿y轴向上平移1个单位得到的，根据两直线平行的关系可以得出直线AB的解析式，当x=0或y=0时就可以求出点A，点B的坐标．
（2）根据三角形ABC是等边三角形和三角形AOB是直角三角形求出点C的坐标，再设出抛物线的解析式为顶点式的形式，利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（3）设出P的坐标，过点P作PE⊥OA于点E，表示出S_梯形OBPE-S_△AOB-S_△APE=S_△ABC，从而根据面积关系列出式子，求出其点P的坐标．
解答：解：（1）∵直线AB是由直线沿y轴向上平移1个单位得到的，
∴直线AB的解析式为：+1，
当x=0时，y=1，
∴B（0，1），OB=1，
当y=0时，x=，
∴A（，0），OA=，
故答案为：B（0，1），A（，0）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=2，∴AB=2OB，
∴∠OAB=30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°，
∴CA⊥OA，
∴C（，2），
设抛物线的解析式为：y=a（x-）²+2，由题意，得
1=a（0-）²+2，解得：a=-，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-）²+2，即y=-x²+x+1，

（3）当P点在AB的游方时，设点P（m，n），则P（m，-m²+m+1），
∴PE=-m²+m+1，
∴-=
解得：m₁=（舍去，与C点重合），m₂=2，
∴P（2，1），
当P点在AB的左方时，设P（a，b），则P（a，-a²+a+1），作PG⊥OA于G，交CB的延长于点F，设CF的解析式为：y=kx+b，由题意得：直线CF的解析式为：y=x+1，∴F（a，a+1）
∴GF=a+1，PG=a²-a-1，PF=a²-a，GO=-a，AG=-a
-=2
解得：a1=，a2=
∴P点的坐标为（，）或（，）
∴P点的坐标为（，）、（，）或（2，1）

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理的运用、等边三角形的性质，梯形、三角形的面积的计算等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．