题目内容
如图，△ABC的高BD、CE相交于O．（1）写出图中的两对相似三角形，并写出相应的对应边的比；
（2）连接ED，△ADE与△ABC相似吗？若相似，给出证明．
分析：（1）由△ABC的高BD、CE相交于O，易得∠AEC=ADB=90°，∠BEO=∠CDO=90°，又由∠A是公共角，∠EOB=∠DOC，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，即可判定：△ABD∽△ACE，△EOB∽△DOC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得相应的对应边的比；
（2）由△ABD∽△ACE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得
=
，又由∠A是公共角，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定△ADE与△ABC相似．
（2）由△ABD∽△ACE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得
| AD |
| AE |
| AB |
| AC |
解答：解：（1）图中的两对相似三角形为：△ABD∽△ACE，△EOB∽△DOC；相应的对应边的比分别为：
=
=
，
=
=
．
理由：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC=ADB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴
=
=
；
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BEO=∠CDO=90°，
∵∠EOB=∠DOC，
∴△EOB∽△DOC，
∴
=
=
；
（2）相似．
证明：∵△ABD∽△ACE，
∴
=
，
即
=
，
∵∠A是公共角，
∴△ADE∽△ABC．
| AD |
| AE |
| AC |
| AB |
| BD |
| CE |
| OE |
| OD |
| OB |
| OC |
| BE |
| CD |
理由：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC=ADB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴
| AD |
| AE |
| AC |
| AB |
| BD |
| CE |
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BEO=∠CDO=90°，
∵∠EOB=∠DOC，
∴△EOB∽△DOC，
∴
| OE |
| OD |
| OB |
| OC |
| BE |
| CD |
（2）相似．
证明：∵△ABD∽△ACE，
∴
| AD |
| AE |
| AB |
| AC |
即
| AD |
| AB |
| AE |
| AC |
∵∠A是公共角，
∴△ADE∽△ABC．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用，注意数形结合思想的应用．
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