Question

11．如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC=160m，BC=120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；
（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：
∴AC²+BC²=160²+120²=40000，AB²=200²=40000，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；
（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CH=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CH=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{160×120}{200}$=96（m），
∵CH⊥AB，
∴∠AHC=90°，
∴AH=$\sqrt{A{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{16{0}^{2}-9{6}^{2}}$=128（m），
∴BH=AB-AH=72m，
∵AC+BC=160m+120m=280m，CH+AH+BH=96m+200m=296m，
∴AC+BC＜CH+AH+BH，
∴甲方案所修的水渠较短．

点评 本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．