Question

1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知S_△ACD：S_△CBD=4：9，AC=6，求△ABC的周长和面积．

Answer 1

分析 根据CD是斜边AB上的高，利用直角三角形两锐角互余的性质求证∠A=∠BCD，然后即可求证△ACD∽△CBD，根据相似三角形的性质得到BC，根据勾股定理求得AB，即可得到结论．

解答 解：∵CD是斜边AB上的高．
∴∠ADC=∠CDB=90°，
又∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AC}{BC}=\sqrt{\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△BCD}}}$=$\frac{2}{3}$，
∴BC=9，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{9}^{2}}$=3$\sqrt{13}$，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=15+3$\sqrt{13}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}×6×9$=27．

点评 此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积和周长的求法，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．