Question

已知：如图，有一块含30°的直角三角板OAB的直角边BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB=3．
（1）若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A'处，试求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

解：（1）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，
∴tan∠AOB=，
∴OB=3，
∴点A（3，3）．
设双曲线的解析式为y=（k≠0），
∴3=，解得：k=9，
则双曲线的解析式为：y=；
（2）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，
∴OA=6．
由题意得：∠AOC=60°，
S_扇形AOA'= ，
在Rt△OCD中，∠DOC=45°，OC=OB=3，
∴OD=OC·cos45°=3·=，
∴S_△ODC=OD²=（）²=．
∴S_阴影=S_扇形AOA'﹣S_△ODC=6π﹣．