Question

已知：如图，有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB=3．
（1）若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A′，试求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析：（1）要求双曲线的解析式，主要是求得点A的坐标，根据30°的直角三角形的性质即可求得OB的长，则得到点A的坐标，再根据待定系数法进一步求得双曲线的解析式；
（2）阴影部分的面积即为扇形OAA′的面积减去三角形OCD的面积．

解答：解：（1）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，

1

tan∠AOB

=

OB

AB

，
∴OB=AB•

1

tan30°

=3

3

，
∴点A（3，3

3

）．
设双曲线的解析式为y=

k

x

（k≠0）．
∴3

3

=

k

3

，k=9

3

．
则双曲线的解析式为y=

9 3

x

．

（2）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，
sin∠AOB=

AB

OA

，sin30°=

3

OA

，
∴OA=6．
由题意得：∠AOC=60°，
S_扇形AOA′=

60•π•62

360

=6π．
在Rt△OCD中，∠DOC=45°，OC=OB=3

3

，
∴OD=OC•cos45°=3

3

•

2

2

=

3 6

2

．
∴S_△ODC=

1

2

OD2=

1

2

(

3 6

2

)2=

27

4

．
∴S_阴影=S_扇形AOA′-S_△ODC=6π-

27

4

．

点评：综合考查了30°的直角三角形的性质、待定系数法求函数的解析式、扇形的面积公式．