题目内容
【题目】如图1 ,等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线 DE 经过点 C，过 A 作 AD⊥DE 于点 D，过 B 作 BE⊥DE 于点 E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为 “K 型全等”．（不需要证明）
（模型应用）若一次函数 y=kx+4（k≠0）的图像与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点．
（1）如图 2，当 k=－1 时，若点 B 到经过原点的直线 l 的距离 BE 的长为 3，求点 A 到直线 l 的距离 AD 的长；
（2）如图 3，当 k=－ 
时，点 M 在第一象限内，若△ABM 是等腰直角三角形，求点
M 的坐标；
（3）当 k 的取值变化时，点 A 随之在 x 轴上运动，将线段 BA 绕点 B 逆时针旋转 90° 得到 BQ，连接 OQ，求 OQ 长的最小值．
【答案】（1）
；（2）点M的坐标为（7,3）或（4,7）或（
，）；（3）OQ的最小值为4．
【解析】
（1）先求出A、B两点的坐标，根据勾股定理即可求出OE的长，然后利用AAS证出△ADO≌△OEB，即可求出AD的长；
（2）先求出A、B两点的坐标，根据等腰直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用AAS证出对应的全等三角形即可分别求出点M的坐标；
（3）根据k的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，设点A的坐标为（x，0），证出对应的全等三角形，利用勾股定理得出OQ2与x的函数关系式，利用平方的非负性从而求出OQ的最值．
解：（1）根据题意可知：直线AB的解析式为y=-x+4
当x=0时，y=4；当y=0时，x=4
∴点A的坐标为（4,0）点B的坐标为（0,4）
∴OA=BO=4
根据勾股定理：OE= 
∵∠ADO=∠OEB=∠AOB=90°
∴∠AOD＋∠OAD=90°，∠AOD＋∠BOE=90°
∴∠OAD=∠BOE
在△ADO和△OEB中
∴△ADO≌△OEB
∴AD= OE=
（2）由题意可知：直线AB的解析式为y=
x+4
当x=0时，y=4；当y=0时，x=3
∴点A的坐标为（3,0）点B的坐标为（0,4）
∴OA=3，BO=4
①当△ABM是以∠BAM为直角顶点的等腰直角三角形时，AM=AB，过点M作MN⊥x轴于N
∵∠MNA=∠AOB=∠BAM=90°
∴∠MAN＋∠AMN=90°，∠MAN＋∠BAO=90°
∴∠AMN=∠BAO
在△AMN和△BAO中
∴△AMN≌△BAO
∴AN=BO=4，MN=AO=3
∴ON=OA＋AN=7
∴此时点M的坐标为（7,3）；
②当△ABM是以∠ABM为直角顶点的等腰直角三角形时，BM=AB，过点M作MN⊥y轴于N
∵∠MNB=∠BOA=∠ABM=90°
∴∠MBN＋∠BMN=90°，∠MBN＋∠ABO=90°
∴∠BMN=∠ABO
在△BMN和△ABO中
∴△BMN≌△ABO
∴BN=AO=3，MN=BO=4
∴ON=OB＋BN=7
∴此时点M的坐标为（4,7）；
③当△ABM是以∠AMB为直角顶点的等腰直角三角形时，MA=MB，过点M作MN⊥x轴于N，MD⊥y轴于D，设点M的坐标为（x，y）
∴MD =ON=x，MN = OD =y，∠MNA=∠MDB=∠BMA=∠DMN=90°
∴BD=OB－OD=4－y，AN=ON－OA=x－3，∠AMN＋∠DMA=90°，∠BMD＋∠DMA=90°
∴∠AMN=∠BMD
在△AMN和△BMD中
∴△AMN≌△BMD
∴MN=MD，AN=BD
∴x=y，x－3=4－y
解得：x=y=
∴此时M点的坐标为（，）
综上所述：点M的坐标为（7,3）或（4,7）或（，）．
（3）①当k＜0时，如图所示，过点Q作QN⊥y轴，设点A的坐标为（x，0）该直线与x轴交于正半轴，故x＞0
∴OB=4，OA=x
由题意可知：∠QBA=90°，QB=BA
∵∠QNB=∠BOA=∠ABQ=90°
∴∠QBN＋∠BQN=90°，∠QBN＋∠ABO=90°
∴∠BQN=∠ABO
在△BQN和△ABO中
∴△BQN≌△ABO
∴QN=OB=4，BN=OA=x
∴ON=OB＋BN=4＋x
在Rt△OQN中，OQ2=ON2＋QN2=（4＋x）2＋42=（x＋4）2＋16，其中x＞0
∴OQ2=（x＋4）2＋16＞16
②当k＞0时，如图所示，过点Q作QN⊥y轴，设点A的坐标为（x，0）该直线与x轴交于负半轴，故x＜0
∴OB=4，OA=-x
由题意可知：∠QBA=90°，QB=BA
∵∠QNB=∠BOA=∠ABQ=90°
∴∠QBN＋∠BQN=90°，∠QBN＋∠ABO=90°
∴∠BQN=∠ABO
在△BQN和△ABO中
∴△BQN≌△ABO
∴QN=OB=4，BN=OA=-x
∴ON=OB－BN=4＋x
在Rt△OQN中，OQ2=ON2＋QN2=（4＋x）2＋42=（x＋4）2＋16，其中x＜0
∴OQ2=（x＋4）2＋16≥16（当x=-4时，取等号）
综上所述：OQ2的最小值为16
∴OQ的最小值为4．
