Question

2．已知，如图，在同一坐标系中，直线AB：y=-0.5x+1与y轴交于点B，直线AC：y=2x-1与y轴交于点C，两条直线AB与AC的交点为A．
（1）求A的坐标；
（2）求证：直线AB⊥AC；
（3）请直接写出k₁，k₂满足的关系式．使得直线y=k₁x+b₁（k₁≠0）和直线y=k₂x+b₂（k₂≠0）相垂直．

Answer 1

分析 （1）两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）根据各点的坐标，得到BC=2，AB=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，AC=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$，据此可得AB²+AC²=BC²，进而得到AB⊥AC；
（3）根据坐标平面内两条互相垂直的直线的系数k的乘积为-1进行判断．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-0.5x+1}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴A的坐标为（$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$）；

（2）∵直线AB：y=-0.5x+1与y轴交于点B（0，1），直线AC：y=2x-1与y轴交于点C（0，-1），
∴BC=2，AB=$\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{3}{5}-1）^{2}}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{3}{5}+1）^{2}}$=$\frac{4}{5}\sqrt{5}$，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴AB⊥AC；

（3）若直线y=k₁x+b₁（k₁≠0）和直线y=k₂x+b₂（k₂≠0）相垂直，则k₁×k₂=-1．

点评 本题主要考查了两条直线的交点问题，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．