Question

【题目】矩形OABC的顶点A(－8，0)，C(0，6)，点D是BC边上的中点，抛物线y＝ax2＋bx经过A，D两点，如图所示.

(1)求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a，b的值；

(2)将抛物线y＝ax2＋bx向下平移，记平移后点A的对应点为A1，点D的对应点为D1，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A1，D1两点距离之和OA1＋OD1最短的一点，求平移后的抛物线解析式.

Answer 1

【答案】(1)D′(4,6)，a=，b=-3；(2).

【解析】

(1)首先根据矩形的性质得到点B的坐标，然后得到点D的坐标，从而得到点D′的坐标，然后利用待定系数法求得a、b的值即可；

(2)首先利用待定系数法求得直线A1D1′的解析式，根据点O为使OA1+OD1最短的点求得m的值，从而确定抛物线的解析式．

解：（1）由矩形的性质可得：B(-8,6)

∴D(-4,6)，D点关于轴对称点D′(4,6)，

将A(-8,0)、D(-4,6)代入得:

，

解得；

（2）设抛物线向下平移了m个单位，则，

∴，

令A1D1′直线为，

∴，

解得，

∵点O为使O+O最短的点，

∴，

∴，

∴.

故答案为：(1)D′(4,6)，a=，b=-3；(2).